Practica por temas

Considera los puntos $A(4, 0, 0)$ y $B(0, 2, 0)$. Calcula los puntos del plano $OXZ$ que forman un triángulo equilátero con $A$ y $B$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = -x^2 + mx$ siendo $m > 0$. Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y = -mx$ y calcula el valor de $m$ para que el área de dicho recinto sea 36.

Halla el valor de $m$ para que la recta de ecuación $\frac{x}{2} = y = z$ y el plano de ecuación $x - y + mz = 4$ formen un ángulo de $30$ grados.

Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase figura). El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?

Dada la recta: $$r: \begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$$ y los puntos $P(1, -2, 0)$ y $Q(0, 1, 3)$: