Practica por temas

Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos $A = (3, 4, 0)$, $B = (2, 1, 0)$ y $C = (5, 1, 0)$. El cuarto vértice $D$ está en la recta $r$ que pasa por los puntos $(1, 2, 3)$ y $(-1, 4, 5)$.

Comprobar que las rectas $$r: x + 1 = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia entre ellas.

Siguin els plans π₁ i π₂, determinats respectivament per les equacions π₁: x + y = 3 i π₂: x − z = −2.

La vela mayor de un velero tiene forma semiparabólica y está delimitada por las gráficas de $f(x) = -x^2 + 25$, $y = 0$ y $x = 0$, tal como se indica en la figura siguiente: La vela tiene dos partes separadas por la recta $y = 9$. Para construirla, se emplea un tejido de nailon en la parte superior, que cuesta $50\,€/\text{u}^2$, y un tejido de poliéster en la parte inferior, que cuesta $70\,€/\text{u}^2$. Calcule el coste total del material que se necesita para construir esta vela.

Considera el punto $P(1, 0, 5)$ y la recta $r$ dada por $\begin{cases} y + 2z = 0 \\ x = 1 \end{cases}$