Practica por temas

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional: $$r \colon 5 - x = y - 3 = 5 - z$$ $$\pi \colon 3x - 4y - 8z + 35 = 0$$

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, 1)$, halla las coordenadas del cuarto vértice sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escribe todas las soluciones posibles.

Dadas las funciones $f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ y $g(x) = 4 - 4x^2$, encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.

Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto $A = (0, 1, 2)$ y es perpendicular a la recta $$r: \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}$$