Practica por temas

Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2x \cos(x^2)$$ que cumpla $F(0) = 0$.

Consideremos la función $f(x) = x \cdot |x - 1|$.

Determina el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ a & a - 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de existir, calcula la inversa de $A$ para $a = 1$. Si no existe tal inversa explica porqué.

Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 2 \end{cases}$$ Resuelve el sistema en los casos $\alpha = 1$ y $\alpha = 2$.

Considera la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{2x} & \text{si } x \neq 0, \\ b & \text{si } x = 0. \end{cases}$$