Practica por temas

**E6.- (Análisis)** Se considera la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Determinar el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$ tales que $f(-1) = 0$, la función $f$ presenta un extremo relativo en $x = 0$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en $x = -1$ es paralela a la recta de ecuación $y + 3x = 0$. **(2 puntos)**

Dada la función $$f(x) = \frac{(x^3 - x + 2) \ln \sqrt{e^{4x + 7}}}{2x^4 + x^2 + 1}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Sea $\{e_1, e_2, e_3\}$ una base de $\mathbb{R}^3$, de modo que los vectores son unitarios y forman entre sí ángulos de $60^\circ$. Dados los vectores $u = e_1 + e_2$ y $v = e_1 - e_2 + e_3$:

En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de $20$ litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Dada la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln x$, donde $\ln$ es la función logaritmo neperiano, se pide: