Practica por temas

Se dan las funciones $f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ y $g(x) = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2^x + a & \text{si } x \leq -1 \\ ax + b & \text{si } -1 < x \leq 0 \\ 3x^2 + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3\,\text{m}^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de $12\,€/\text{m}$ y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de $10\,€/\text{m}$. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible.

Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$ el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} (a - 1)x + y + 3az = 1 \\ ax + ay - z = a \\ (a - 1)x + y + (a - 1)z = -2a + 1 \end{cases}$$