Practica por temas

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} ax + y - 2z = 1 \\ 3ax + a^2y - 2a^2z = 3 \\ -ax - y + (a^2 - 1)z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Estudiar, para los distintos valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando $m = 3$. $$\begin{cases} mx - y + 13z = 0 \\ x + y + 7z = 0 \\ 2x - my + 4z = 0 \end{cases}$$

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $AX = B$ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & m & m \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ m \end{pmatrix}.$$

Sabiendo que el $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{m}{2x} \right)$ es finito, calcule el valor del número real $m$ y halle el valor del límite.