Practica por temas

Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas $y = 4x$, $y = 8 - 4x$ y la curva $y = 2x - x^2$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = |x^2 - 4|$

4A) Un vidriero está reparando una de las vidrieras de La Sagrada Familia cuya forma es la de la parte sombreada de la figura adjunta. Se ha dado cuenta de que Gaudí lo diseñó de forma que uno de los lados sigue la función $y = f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen} \dfrac{x}{4}$ y otro sigue la función $y = g(x) = 3 \cdot \cos \dfrac{x}{4}$, donde $x$ e $y$ están expresadas en metros.

Dada la función $$f(x) = x \left(\sqrt{2x^2 + 3x + 2}\right)^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{4}$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sea $f$ una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: $$f'(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}$$ Hallar la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x = 0$.