Practica por temas

Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas mediante $$f(x) = |x(x - 2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4.$$

Dado el sistema: $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + 4z = -1 \\ 3x + y + k^2z = 3k \end{cases}$$

Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden $10\,\text{mm}$, tal como se puede observar en la figura siguiente:

En una circunferencia de centro $O$ y radio $10$ cm se traza un diámetro $AB$ y una cuerda $CD$ perpendicular a ese diámetro. ¿A qué distancia del centro $O$ de la circunferencia debe estar la cuerda $CD$, para que la diferencia entre las áreas de los triángulos $ADC$ y $BCD$ sea máxima?

Calcular el área encerrada por las curvas $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + 1$ y $g(x) = 4x^2 + 1$.