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Sea f : ℝ → ℝ la función definida por f(x) = e^(2−x).

**E6.- (Análisis)** Se considera la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Determinar el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$ tales que $f(-1) = 0$, la función $f$ presenta un extremo relativo en $x = 0$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en $x = -1$ es paralela a la recta de ecuación $y + 3x = 0$. **(2 puntos)**

Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0,0)$, $A = (x,y)$ y $B = (0,y)$ siendo $x > 0$, $y > 0$ y tal que la suma de las longitudes de los lados $OA$ y $AB$ es $30$ metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Dada la función $$f(x) = \sqrt{2 + \sen(\sqrt[3]{x + 1}) + \sen(\pi - \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x}})}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcular los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} a(x^2 - 9) + \frac{bx}{3} - b, & x < 3 \\ \ln(b(x - 2)), & x \geq 3 \end{cases}$$ sea derivable.