Practica por temas

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} x + (a^2 - 2a)y - z = -a^2 \\ x + (a^2 - 4)y + (2a - 3)z = -a^2 - 2a \\ x + (a^2 - 4a + 4)y + (a^2 - 2a)z = -a^2 + a - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Se considera la parábola $y = 6x - x^2$.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola $f(x) = -x^2$ y la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto correspondiente a $x = 1$. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).

Hallar la ecuación del plano que contiene al punto $P(2, -1, 2)$ y a la recta $$r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{-1}$$

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro $k$: $$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \\ x + y + z = -1 \end{cases}$$