Practica por temas

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$, se pide:

Dada la función $f(x) = \frac{x}{\ln x}$, determinar su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

Sea $I_3$ la matriz identidad de orden $3 \times 3$ y $A$ la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\sec(x^2)}$ es finito e igual a uno, calcula los valores de $a$ y $b$.

Calcula una primitiva de la función $f: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \operatorname{arctg}(\sqrt{x})$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1)$ ($\operatorname{arctg}$ denota la función arco tangente). Sugerencia: efectúa el cambio $x = t^2$.