Practica por temas

Sean las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \frac{x^2}{4}$ y $g(x) = 2\sqrt{x}$ respectivamente.

Un segmento de longitud fijada $m$ se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcule el valor del ángulo $\alpha$ que forma el segmento con el eje $OX$ para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes y del cual $m$ es la hipotenusa tenga área máxima. Compruebe que se trata realmente de un máximo.

Un campo de juego quiere diseñarse de modo que la parte central sea rectangular de base $y$ metros y altura $x$ metros, y las partes laterales sean semicircunferencias (véase dibujo). Su superficie se desea que sea de $4 + \pi \text{ m}^2$. Se debe pintar el perímetro y las rayas interiores de modo que la cantidad de pintura que se gaste sea mínima (es decir, su longitud total sea mínima). Halle $x$ e $y$ de modo que se verifique este requisito.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = |x^2 - 4|$