Practica por temas

Considera la matriz $M$ y el vector $b$, $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a + 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},$$ respectivamente.

Encuentra $a, b$ para que la función definida como $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x^2 & \text{si } 2 < x \end{cases}$$ sea continua en los puntos $x = 1$, $x = 2$. Determina, para los valores de $a, b$ hallados, si la función es derivable en los puntos $x = 1$, $x = 2$.

Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Las páginas de un libro deben tener cada una $600\,\text{cm}^2$ de superficie, con unos márgenes alrededor del texto de $2\,\text{cm}$ en la parte inferior, $3\,\text{cm}$ en la parte superior y $2\,\text{cm}$ a cada lado. Calcule las dimensiones de la página que permiten la superficie impresa más grande posible.

Sea $f$ la función dada por $f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2}$ para $x \neq 2$.