Practica por temas

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades $0{,}5$, $0{,}2$ y $0{,}3$. El $60\%$ de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el $10\%$ de las veces que va al teatro y el $90\%$ de las que va de concierto.

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 4x$ y la recta de pendiente $\frac{1}{2}$ que corta a $f(x)$ en $x = \frac{7}{2}$.

Dada la función $$f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-2, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Determina la función $f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f''(x) = \ln(x)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 2)$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).