Practica por temas

Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes. Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de $48\,\text{cm}$ de largo por $30\,\text{cm}$ de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).

El sistema $AX = B$, donde $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ a & 5 & a \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},$$ tiene diferentes soluciones según sea la matriz $B$.

La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 - a & 0 \\ 4 & 1 & 2a + 2 \end{pmatrix}$$