Practica por temas

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Sean $A'$ y $B'$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente, y sea $A - B$ el conjunto de sucesos elementales de $A$ que no son de $B$. Dadas las probabilidades $P(A) = 0{,}75$, $P(B') = 0{,}45$ y $P(A - B) = 0{,}3$, calcula:

Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad $0{,}7$ se deben a la enfermedad 1 ($E_1$), con una probabilidad $0{,}2$ a la enfermedad 2 ($E_2$) y con una probabilidad $0{,}1$ a la enfermedad 3 ($E_3$). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para $E_2$, el B para $E_3$ y el C para $E_1$. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla. Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene $E_3$ es de $0{,}4$. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?

Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro $k$. $$\begin{cases} x + 2y + 4z = 0 \\ -2x - 4z = 0 \\ x - y + z = k \end{cases}$$

Un espejo plano, cuadrado, de $80\,\text{cm}$ de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos $32\,\text{cm}$ y $40\,\text{cm}$ respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$, uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).

Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de $2$ metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?