Practica por temas

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = 3x - x^2$ y su recta normal en el punto $(3, 0)$. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).

Sean $a, b$ números reales y la función $$f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{si } x < -1 \\ ax + 1, & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + bx + 2, & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $5$. Uno de los vértices del triángulo es el punto $A = (-5, 0)$. Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia $B = (x, y)$ y $C = (x, -y)$. Se pide obtener razonadamente:

Calcula $$\int \frac{dx}{(x - 2) \sqrt{x + 2}} \quad (\text{Sugerencia: } \sqrt{x + 2} = t).$$