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Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida como: $$f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ -x^2 + ax + b, & x > 0 \end{cases}$$ con $a$ y $b$ números reales.

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f(0) = 2$, las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = 3$ sean paralelas y $f$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

Sea $f(x) = x^2 \cdot e^{-ax}$ cuando $a \neq 0$.

Considere las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{x}$, y la recta $x = e$.

Halle los valores de $a$ y $b$ para que la recta de ecuación $y = 6x + a$ sea tangente a la curva $f(x) = \frac{bx - 1}{bx + 1}$ en el punto de abscisa $x = 0$. Escriba las funciones que se obtienen.