Practica por temas

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: $$\begin{cases} x + y - z = 4 \\ x + a^2 y - z = 3 - a \\ x - y + az = 1 \end{cases}$$

Dado un número real $a > 0$, considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $f(x) = x^2 - ax$, y la recta $y = 2ax$. Determina $a$ sabiendo que el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y la recta anterior es $36$.

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$. Halla $b, c$ y $d$ sabiendo que $f$ tiene un máximo relativo en $x = 1$ y que $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 4$.

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cinco intermedios como tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en $17$ cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir $7$ cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por otro largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.