Practica por temas

Halla el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{e^{3 - x}} & \text{si } x \leq 0 \\ (1 + x)^{(1 + \frac{a}{x})} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.

En una ciudad hay dos equipos destacados, uno de fútbol y otro de baloncesto. Todos los habitantes son seguidores de alguno de los dos equipos. Se sabe que hay un 60% de seguidores del equipo de fútbol y otro 60% del equipo de baloncesto. Calcula: a) La probabilidad de que un habitante sea seguidor de ambos equipos a la vez. (1 punto) b) La probabilidad de que un habitante sea únicamente seguidor del equipo de fútbol. (0.5 puntos) c) Se elige al azar un habitante de la ciudad y se comprueba que es seguidor del equipo de baloncesto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea también seguidor del equipo de fútbol? (1 punto)

Utilizando el cambio de variable $1 + x^2 = t^2$, calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}$ que cumpla $F(0) = 0$.

Calcula razonadamente las siguientes integrales:

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ bx - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$