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Sea $a$ un parámetro real cualquiera. Determine el rango de la matriz siguiente según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} a + 1 & -1 & a + 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix}$$

Se considera una matriz de orden $3 \times 3$ cuyas columnas son $C_1, C_2$ y $C_3$ y cuyo determinante es $2$. Se define ahora la matriz $B$ cuyas columnas son $-C_2, C_3 + C_2$ y $3C_1$. Determine el determinante de la inversa de $B$, si existe.

Calcule los valores del parámetro $a$ para que sean tangentes.

Calcule los puntos de tangencia.

Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta $r$.

La ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $(2, 1, 3)$.

Los valores de $a$ y de $b$ para que el plano $\tau$ contenga a la recta $r$, intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$.