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Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.

Sea $f(x) = 2x + \frac{5}{2} \ln(1 + x^2)$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto correspondiente a $x = 0$. Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.

Encuentre el valor del parámetro $a$ para que estas rectas se corten.

En el caso en que se corten, encuentre la ecuación general (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano que las contiene.

Estudia para qué valores de $x$ se cumple $A^3 - I = O$ ($I$ matriz identidad y $O$ matriz nula).

Calcula $A^{12}$ para los valores de $x$ que verifican la condición anterior.

Para $x = 0$ y sabiendo que ese valor verifica la condición del primer apartado, calcula, si existe, la inversa de $A$.

Comprueba que $A^2 = -A^{-1}$.

Dadas las matrices $$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ calcula la matriz $X$ que verifica $A^4 X + B = AC$.