Practica por temas

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ e^x - e^{-x} - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es continua, alcanza un máximo relativo en $x = -1$ y la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$ tiene pendiente $2$.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2 4.1 Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de 80 cm³ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por cm². La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro.

El propietario de la empresa “Asturfabril” ha estimado que si compra “$x$” máquinas y contrata “$y$” empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función $f(x, y) = 9x \cdot y^2$. Sabiendo que tiene un presupuesto de $22500$ €, que cada máquina supone una inversión de $2500$ € y cada contrato de un nuevo empleado $1500$ €, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.

Dadas las siguientes rectas: $$r \equiv \begin{cases} 2 x + y - 2 z - 1 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2}$$ calcula la ecuación de un plano $\pi$ paralelo a la recta $r$ y que diste de $s$ $3$ unidades.

Dados los puntos $P_1(1,4,5)$, $P_2(1,2,-1)$, $P_3(0,-2,3)$ y $P_4(-2,0,1)$, calcula: **(a) (1 p)** la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $P_2$, $P_3$ y $P_4$. **(b) (1,5 p)** el punto simétrico de $P_1$ respecto del plano $\pi$.