Practica por temas

3º) Se consideran las siguientes rectas: $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, $s \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 + 3\lambda. \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$ $a)$ Determina su posición relativa. $b)$ Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \int_{0}^{x} \cos(t) \sec^2(t) dt$$ Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4}$.

Para cada punto $(x, y)$ de la curva $y = e^{-2x}$, con $x > 0$ e $y > 0$, considere el rectángulo con vértices en los puntos $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ y $(x, y)$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} (a + 2) x - y - a z = - a \\ (- a - 2) x + 2 y + (a^2 - a) z = 3 a - 1 \\ (a + 2) x - 2 y + (2 - 2 a) z = - 2 a \end{cases}$$