Practica por temas

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$$ Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ una recta tangente horizontal con $y = 1$ y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Dada la siguiente función $$f(x) = (e^{ax} + b)x - e, \quad a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0.$$

Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo en función del parámetro a: $$\begin{cases} ax + y + az = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + (a - 1)y + az = 0 \end{cases}$$

1: [2,5] En los años 2022 y 2023, Carlitos Alcaraz ganó un total de 10 torneos de categorías Grand Slam, Masters 1000 y ATP 500, lo que le proporcionó un total de 10.000 puntos. El número de torneos ganados de categoría ATP 500 fue 1 más que la mitad de la suma del número de torneos ganados de las otras dos categorías. En la siguiente tabla se detallan los puntos conseguidos por cada torneo ganado en cada una de las categorías: Grand Slam = 2.000 puntos | Masters 1000 = 1.000 puntos | ATP 500 = 500 puntos Con esta información, calcule el número de torneos de cada una de las tres categorías ganados por Carlitos en los años 2022 y 2023.

En cierta región, el $72\%$ de las mujeres vive al menos $71$ años y el $52\%$ vive al menos $80$ años. Si una mujer determinada de esa región tiene $71$ años, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a vivir al menos hasta los $80$ años?