Practica por temas

Encuentra $a, b$ para que la función definida como $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x^2 & \text{si } 2 < x \end{cases}$$ sea continua en los puntos $x = 1$, $x = 2$. Determina, para los valores de $a, b$ hallados, si la función es derivable en los puntos $x = 1$, $x = 2$.

En las rebajas de unos grandes almacenes están mezcladas y a la venta 200 bufandas de la marca A, 150 de la marca B y 50 de la marca C. La probabilidad de que una bufanda de la marca A sea defectuosa es $0{,}01$; $0{,}02$ si es de la marca B y $0{,}04$ si es de la marca C. Una persona elige una bufanda al azar.

Se dan las rectas $r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$, $s: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{1}$ y el plano $\pi: 3x + ay - z + 1 = 0$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Considera los puntos $A(-1, 3, 2)$, $B(2, -1, -1)$ y $C(a - 2, 7, b)$.

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por las ecuaciones $$r: \frac{x}{7} = \frac{y}{a - 4} = \frac{z + 6}{5a - 6} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 6}{4}$$