Practica por temas

Enuncia el teorema de Bolzano. Probar que la función $f(x) = x^3 + 2x - 4$ corta el eje $OX$ en algún punto del intervalo $[1, 2]$. ¿Puede cortarlo en más de un punto?

Calcula $\lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 2}{x^2 + x + 2} \right)^{\frac{1}{x^2}}$.

Dados los vectores $\vec{u} = (-1, 0, -2)$, $\vec{v} = (a, b, 1)$ y $\vec{w} = (2, 5, c)$, halla razonadamente el valor de $a, b$ y $c$ para que los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean ortogonales y para que el vector $\vec{w}$ sea igual al producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P(-1, 3, 1)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0$. Comprueba si los puntos $Q(1, 5, 5)$ y $R(0, 4, 2)$ pertenecen o no a la recta.

Calcula $a$ y $b$.

Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

Halla los valores de $m$ y $n$ para los que $r$ y $s$ se cortan perpendicularmente.

Para $m = 3$ y $n = 1$, calcula la ecuación general del plano que contiene a $r$ y a $s$.