Practica por temas

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{e^{x^2}}$ se pide:

Se dan las rectas $r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 2 = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} 3y + 1 = 0 \\ x - 2z - 3 = 0 \end{cases}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Halla los valores $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la gráfica de la función $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c}$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa $x = 3$.

Para guardar el material escolar, se quiere construir una caja (sin tapa) a partir de una plancha de cartón de $48\,\text{cm}$ de largo por $30\,\text{cm}$ de ancho, a la que se le ha recortado un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas (véase el dibujo).

Se administra una medicina a un enfermo y $t$ horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por $c(t) = t e^{-t/2}$ miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de $c(t)$ e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de $1\,\text{mg/ml}$, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.