Practica por temas

Analice, según los valores del parámetro $k$, el carácter (es decir, si es compatible o no y si es determinado o no) del sistema de ecuaciones siguiente: $$\begin{cases} 2x + y - z = k - 4 \\ (k - 6)y + 3z = 0 \\ (k + 1)x + 2y = 3 \end{cases}$$

Sea la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x}}$.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ de manera que $A^2 = O$, en que $O$ es la matriz nula (la formada completamente por ceros).

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 3$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x + 1)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de 19 euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 euros. Para compensar el error, el vendedor le ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo que suponía un descuento del $40\%$ respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?