Practica por temas

Calcula los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ de manera que la función satisfaga las siguientes propiedades: • Pase por el punto $(0,0)$. • Tenga un máximo local en el punto $(1,2)$.

Calcula todos los valores de la variable $x$ en los que la gráfica de la función tiene tangente horizontal.

Calcule la matriz de la forma $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ que satisface $A^2 - A = I$, en que $I$ es la matriz identidad, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcule $A^{-1}$ y compruebe que el resultado se corresponde con el que obtiene al deducir la matriz $A^{-1}$ a partir de la igualdad $A^2 - A = I$.

Enuncia el teorema de Rolle. Determina el valor de $a$ para que sea aplicable el teorema de Rolle a la función $f(x) = x^3 + ax - 1$, en el intervalo $[0, 1]$. Para este valor de $a$, calcula un punto $c \in (0, 1)$ en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ sea paralela al eje $OX$.

Calcula $\int \frac{x^3 + 3}{x^2 - x} dx$.

Hallar los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f$ tenga un extremo en $x = 0$ y otro en $x = 2$. ¿Son únicos dichos parámetros?

Determinar de qué tipo de extremo se trata (máximo o mínimo).

Representar $f$ en el caso $C = 0$.