Practica por temas

Una imprenta debe diseñar un cartel con $18\,\text{m}^2$ de área para texto y además, con margen superior $3\,\text{cm}$, inferior $2\,\text{cm}$ y márgenes laterales $4\,\text{cm}$ cada uno.

Sea $$f(x) = x e^{-ax}$$

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left. \begin{array}{r r r r r r r} -x & + & 2y & & & = & -1 \\ -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 \\ ax & - & 2y & + & z & = & 2 \end{array} \right\}$$

Dado el sistema: $$\begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ x - 2y + 2z = m \\ 3x - y + mz = 4 \end{cases}$$

Calcula el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}, a > 0$, para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región determinada por la parábola $f(x) = -x^2 + a^2$ y el eje de abscisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -a$.