Practica por temas

Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow.

Dada la función $f(x) = ax^3 + bx + c$, determina $a, b$ y $c$ sabiendo que $y = 2x + 1$ es la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto correspondiente a la abscisa $x = 0$ y que $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$.

Estudia si existen matrices columna no nulas $B$ y $C$ tales que $$\begin{cases} A \cdot B = -B \\ A \cdot C = B - C \end{cases}$$ En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices $B$ y $C$.

Sea $D$ una matriz columna no nula tal que $A \cdot D = D$. Demuestra que también se cumple $A^{-1} \cdot D = D$.

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \frac{5x + 1}{2x - 1} - \frac{3}{2} \right)^{\frac{2x^2 + 1}{x - 1}}$$

Usando el cambio de variable $t = \cos(x)$, calcule: $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sen(x) \cos(x)}{1 - \cos(x)} dx$$

Queremos construir una ventana con la forma de la figura que aparece debajo, es decir rectangular en la parte inferior y semicircular en la superior (la parte superior es un semicírculo completo). Sabiendo que el perímetro total de la ventana son $5$ metros, determine las dimensiones de la ventana para que la superficie de la misma sea máxima.