Practica por temas

Halla el valor de $a$ para que la función $f(x) = \frac{x^2 + x + a}{3x + 1}$ verifique $f'(1) = 0$.

Demuestra que existe $\alpha \in (1, \sqrt{2})$ tal que $f'(\alpha) = 1$, siendo $$f(x) = \ln \left(\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{4} x^2\right)\right)$$

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Sabemos que la gráfica de esta función es tangente a la recta $r: y = x + 3$ en el punto de abscisa $x = -1$, y que en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente es paralela a la recta $r$. Calcule el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Sean $A = (6, 2, -1)$, $B = (3, 0, 5)$ y $C = (-2, 1, 2)$ los vértices de un triángulo.

Sea $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x (\ln(x))^2$ (ln denota la función logaritmo neperiano).