Practica por temas

Se consideran las curvas $y = x^3$, $y = ax$ y la función $f(x) = x^3 - ax$, siendo $a$ un parámetro real y $a > 0$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Halla $a > 0$ y $b > 0$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}$ tiene en el punto $(1, 2)$ un punto crítico.

Para cada número real $a$, la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ tiene determinante $|A| = (a - 1)^3$. A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientes matrices: $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2a & 2 & 2 & 2 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Hallar los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales el polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ cumple las siguientes condiciones: • $P(0) = 1$ • La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $P(x)$ en $x = 0$ es $m = 1$. • $\int_{0}^{2} P(x) dx = 12$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$$ Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ una recta tangente horizontal con $y = 1$ y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.