Practica por temas

Si $a$ y $b$ son números reales arbitrarios, consideramos la función $$f(x) = \begin{cases} a \sen x + b \cos x, & \text{si } x < \frac{\pi}{2} \\ \sen^2 x - a \cos x, & \text{si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Se divide un segmento de longitud $200\,\text{cm}$ en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos con la condición que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.

Se quiere construir una ventana rectangular de $1$ metro cuadrado de área. El coste del marco es de $12{,}5$ € por cada metro de altura y de $8$ € por cada metro de anchura. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible?

Tenemos tres grifos para llenar un depósito de agua y suponemos que el caudal que cae por cada grifo es constante. Si usamos el grifo 1, tardamos 10 horas en llenar el depósito; si usamos los grifos 1 y 2, tardamos 4 horas, y si los usamos los tres, tardamos una hora. Suponiendo que la suma de los caudales de los tres grifos es 10 litros por minuto, calculad el caudal del agua de cada grifo y el volumen del depósito.