Practica por temas

Calcula $a, b, c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto de inflexión en $(0, 4)$ y su recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas.

a) Dado el plano $\alpha: \begin{cases} x = 3 + 3\lambda + \mu \\ y = -3\lambda + \mu \\ z = 3 + \lambda - \mu \end{cases}$, calcula las ecuaciones en forma continua de la recta $r$ que pasa por el punto $P(2, -3, -4)$ y es perpendicular al plano $\alpha$. Calcula el punto de corte de $r$ con $\alpha$. b) Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos $P(2, -3, -3)$ y $Q(3, -2, -4)$ y es perpendicular al plano $\alpha$. c) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta intersección del plano $\beta: 5x - 4y + z - 19 = 0$ con el plano $\alpha$.

Sean los puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 0, 1)$, $C(0, 1, -2)$ y $D(1, 2, 0)$.

Calcular los valores $A$, $B$, $C$ y $D$ para que la función $$f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$$ tenga extremos relativos en $(0, 0)$ y en $(2, 2)$.