Practica por temas

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$$ b) Resolverlo para $\lambda = 1$.

Calcule la siguiente integral: $\int x^3 e^{x^2} dx$.

Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Determina $a, b$ y $c$, sabiendo que $AB = C$ y la matriz $A$ tiene rango 2.

Dadas las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},$$ se pide:

Dados los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(1, 1, 2)$, determine los puntos $C$ y $D$ tales que el cuadrilátero $ABCD$ sea un rectángulo en el plano $x + y - z = 0$ y la coordenada $x$ del punto $C$ valga $1$. Vea la figura adjunta.