Practica por temas

Sean los puntos $P \equiv (7, 4, 2)$, $Q \equiv (1, 2, -2)$ y $R \equiv (2, 1, -3)$. Uno de ellos es el centro de un rombo, y los otros dos, dos vértices. Halla los dos vértices restantes.

Dado el plano $\pi : \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}$ con $(\lambda \in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R})$ y dado el punto $P(0, 3, -1)$ exterior a $\pi$, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, explicando el procedimiento utilizado.

Considere las rectas $r$ y $s$ dadas por las ecuaciones $$r: \frac{x}{7} = \frac{y}{a - 4} = \frac{z + 6}{5a - 6} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 6}{4}$$

Se dan las rectas $r_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases}$ y $r_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}$, siendo $\alpha$ y $\beta$ parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea el punto $A(1,1,3)$ y la recta de ecuación $r \equiv \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ z = 2 \end{cases}$