Practica por temas

Dada la función $$f(x) = x e^{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala A, 50 en la sala B y 100 en la sala C. Se sabe que la película de la sala A gusta al 80% de los espectadores, la de la sala B al 20% de los espectadores y la de la sala C al 60% de los espectadores. A la salida de las tres películas se elige un espectador al azar.

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = -x^2 + 12$ y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

Sea la recta de ecuación: $$r \equiv \begin{cases} 3x + \alpha y + z = 1 \\ 2x + 6y - 2z = 6 \end{cases}$$ ¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el plano $\pi \equiv x + y + z = 1$ contenga a la recta dada? Razona la respuesta.

Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades $0{,}5$, $0{,}2$ y $0{,}3$. El $60\%$ de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el $10\%$ de las veces que va al teatro y el $90\%$ de las que va de concierto.