Practica por temas

Sean la recta $r \equiv \frac{x - 1}{m} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{4}$ y el plano $\pi \equiv x + y + kz = 0$. Encontrar $m$ y $k$ para que:

Calcule el valor de la integral $$\int_{1}^{2} \left(\frac{x - 1}{8}\right)^{2/3} dx$$

Calcule la siguiente integral indefinida: $\int \frac{1}{2x^2 + 4} \, dx$.

Se quiere contruir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos $A(0,0,0)$, $B(2,0,1/2)$ y $C(3/2,3,1)$ y el vértice superior, $D$, se encuentra en una viga recta entre los puntos $E(0,1,3)$ y $F(3,2,3)$ (es decir, $D = E + \lambda \vec{EF}$ con $\lambda \in [0, 1]$).

Sea $M$ la matriz $M = \begin{pmatrix} x & -x & x \\ 1 & -x & x \\ x & 2x & x \end{pmatrix}$.