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Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano.

¿Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la función $f(x) = \tg(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de $f$ en ese intervalo. Nota: $\tg$ denota la función tangente.

Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$.

Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $A$, $B$ y $C$.

Halla $a \in \mathbb{R}$ para que las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ -x + y - 3z = 2 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ 3x + 2y + z = a \end{cases}$$ se corten en un punto.

Para dicho valor de $a$, da la ecuación implícita de un plano $\pi$ que contenga a $r$ y $s$.

Estudia y determina la posición relativa de $r$ y $s$.

Calcula la distancia entre $r$ y $s$.