Practica por temas

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, -2, 2)$, $C(-1, 0, 2)$ y $D(2, -1, -2)$.

Considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 2y + mz = m - 1 \\ x + (m + 1)y + (2m + 1)z = m \\ -x - 2y + z = 2 \end{cases} , m \in \mathbb{R}.$$ Estúdialo para los distintos valores del parámetro $m$ y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).

Se sabe que los puntos $A(-1, 2, 6)$ y $B(1, 4, -2)$ son simétricos respecto de un plano $\pi$.

Demuestra que existe $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$, siendo $$f(x) = \cos(\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Determinar el plano que pasa por los puntos \(P = (1, 1, 2)\) y \(Q = (3, -1, 1)\) y es paralelo a la recta \(r \equiv x - 1 = y = z\).