Practica por temas

Dada la función $f(x) = \begin{cases} xe^{2x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ donde $\ln$ significa logaritmo neperiano, se pide:

Una ventana rectangular tiene un perímetro de $12$ metros. Calcule las medidas de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máxima.

Demuestra que existe $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$, siendo $$f(x) = \cos(\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

2.- (2 puntos) En una finca con forma de semicírculo de radio 20 m se quiere poner un jardín rectangular, de tal manera que uno de lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte de la curva. Calcula las dimensiones del jardín para que su área sea máxima.