Practica por temas

Sea la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 \cos(x)$. Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(\pi, 0)$.

La temperatura $T$, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo $t$ transcurrido en ese proceso por la expresión $$T = 20 + \frac{5t - 15}{t^2 - 6t + 10} \quad (\text{con } 0 \leq t \leq 6)$$ Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura mínima. Justificar las respuestas.

Un espejo plano, cuadrado, de $80\,\text{cm}$ de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos $32\,\text{cm}$ y $40\,\text{cm}$ respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$, uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).

Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = a\sqrt{3x + 3} + b\sqrt{x - 1}$ tenga un punto de inflexión en el punto $(2, 8)$.

Se consideran los puntos $A(0, -1, 3)$, $B(2, 3, -1)$ y la recta $r \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$