Practica por temas

**Problema 3 (Geometría):** Dados la recta $r \equiv x = y = z$, el plano $\pi \equiv x + 2y - 3z = 0$ y el punto $P = (1,1,1)$, se pide: a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. **(1 punto)** b) Hallar la recta perpendicular a $r$ contenida en $\pi$ que pasa por $P$. **(1 punto)**

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$

Sabiendo que $P(A) = 0{,}5$, $P(A|B) = 0{,}625$ y $P(A \cup B) = 0{,}65$, se pide calcular:

Calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^2 + b \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en $x = 1$ y que $$\int_{1}^{4} f(x) dx = 27 - 8 \ln(4)$$

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P(2, 1, 3)$ y $Q(1, 3, 1)$; los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R(4, 7, -6)$.