Practica por temas

Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los números de forma que el producto entre ellos sea máximo.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ y la matriz identidad de orden dos $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Sea la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Calcula el valor del parámetro $t$ para que se cumpla la igualdad $|A^{-1}| = - 1$, siendo $A$ la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} t & 2 & t + 2 \\ - t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una hoja de papel tiene que contener $18\,\text{cm}^2$ de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener $2\,\text{cm}$ cada uno y los laterales $1\,\text{cm}$. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.