Practica por temas

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix}$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0,0)$, $A = (x,y)$ y $B = (0,y)$ siendo $x > 0$, $y > 0$ y tal que la suma de las longitudes de los lados $OA$ y $AB$ es $30$ metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Determina una función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f(1) = -1$ y que $$f'(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x < 0 \\ e^x - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Se considera el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} (3\alpha - 1)x + 2y = 5 - \alpha \\ \alpha x + y = 2 \\ 3\alpha x + 3y = \alpha + 5 \end{cases}$