Practica por temas

Calcula $a$ con $0 < a < 1$, tal que $\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx + 2 = 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Con el símbolo $\ln x$ se representa el logaritmo de un número positivo $x$ cuando la base del logaritmo es el número $e$. Sea $f$ la función que para un número positivo $x$ está definida por la igualdad $$f(x) = 4x \ln x$$ Obtener razonadamente:

Calcula el valor del parámetro $t$ para que se cumpla la igualdad $|A^{-1}| = - 1$, siendo $A$ la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} t & 2 & t + 2 \\ - t & t & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{1}{2}$, siendo $$f(x) = \frac{\sqrt[4]{2^{x^2 + 3x + 3} + 3 \cdot 2^{x + 1} + 4}}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}}$$