Practica por temas

Calcule la siguiente integral de una función racional: $$\int \frac{3x}{x^2 + x - 2} dx$$

Demuestre que la ecuación $$\operatorname{sen}(x^2) = x - 1$$ tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución.

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 & -2 \\ -2 & -3 & -7 & -8 \\ 3 & 2 - a & 3 + a & 3 \end{pmatrix},$$ se pide:

En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?

Demuestre que la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x + \sqrt{2}$ no puede tener dos raíces en el intervalo $[0, 1]$. ¿Cuántas raíces tiene en $[0, 1]$?